Оновлено: 02.09.2025
Відкриття математики: спогади професора М.С. Львова
Відкриття математики
Передісторія. Сім'я Львових, Херсон, 60-ті роки 20 століття
У цьому нарисі я спробую розповісти про своє відкриття математики як науки, якій я присвятив усе своє життя. Як мені здається, найважливіший аспект цього відкриття – відкриття в собі математичних здібностей. Бажання професійно займатися математикою залежить не тільки від наявності математичних здібностей, але й від усвідомлення цих своїх здібностей.
Усе почалося взимку 1962-63 навчального року. Ми – я і моя сестра-близнючка Лідія – вчилися у 8А класі Херсонської школи № 20. Цього року ми вперше взяли участь у Херсонській обласній математичній олімпіаді школярів 8-х класів. У результаті моя сестра Лідія посіла 1-е місце в області. Про моє місце в цьому змаганні історія замовчує.
Влітку 1963 року Лідія отримала запрошення до літнього математичного табору Київського університету ім. Т. Г. Шевченка. У цьому році керівництвом країни було ухвалено рішення про відкриття спеціалізованих фізико-математичних шкіл-інтернатів при провідних університетах країни – Київському, Московському та Ленінградському. Ідея полягала у відборі та спеціалізованому навчанні найбільш здібних дітей з усієї країни в галузі математики та фізики.
Лідія, з повним схваленням батьків, поїхала до Києва, у літній математичний табір. Вона успішно склала іспити, що проводились під час перебування дітей у таборі, й отримала запрошення до школи-інтернату, яка відкривалася з 1 вересня 1963 р..
У той час, коли моя сестра поєднувала відпочинок і заняття математикою в літньому математичному таборі, я цілком і повністю присвятив своє літо спортивному плаванню. Відділення водних видів спорту, включно з плаванням, ДСШ №1 Херсона розташовувалося в 3-му затоні Дніпра – на лівому березі. Тому щодня, о 10 ранку, я приходив на набережну Дніпра, звідки баркас нашої ДСШ перевозив нас на лівий берег, до басейну відділення водних видів спорту ДСШ №1. Там, поєднуючи тренування і пляжний відпочинок далеко від контролю батьків, я проводив цілий день, повертаючись додому близько 5 вечора. Дивно, але батьки не заперечували проти моїх тренувань і такого проведення часу взагалі.
Треба сказати, що ці літні місяці 1959-1963 років є найяскравішими позитивними спогадами мого дитинства – тренування з плавання, друзі, пляж, повна свобода.
Тут доречно розповісти докладніше про наших батьків.
Батько – Сергій Миколайович Львов – кандидат фізико-математичних наук, доцент, завідував кафедрою фізики Херсонського державного педагогічного інституту. Папа, крім викладання фізики, активно займався наукою, в тому числі виконанням науково-технічних договорів з багатьма науково-виробничими установами країни. Він, як правило, працював допізна, так що ми спілкувалися з ним досить рідко. Папа в нашій сім'ї грав роль заступника бога. Цей його образ активно стверджувався мамою. Заробітна плата батька була високою, тож сім'я була забезпеченою.
Мати – Львова Кренца Ізраїлівна – лікар-педіатр, свою лікарську діяльність присвятила лікуванню дитячого туберкульозу в Херсонській області. Багато років мама завідувала відділенням Херсонської дитячої обласної туберкульозної лікарні, активно консультувала для лікарень Херсона. Саме вона керувала всіма сімейними справами, часто – від імені та за дорученням заступника бога по сім'ї.
Крім нас із Лідою, у сім'ї був ще наш старший брат Віктор, на той час – студент фізичного факультету Ленінградського університету, згодом – вчений-фізик світового рівня.
Отже, вересень 1963 року. Ліда навчається у 9А класі фіз.-мат. школи-інтернату при КДУ, а я - у 9А класі Херсонської ЗОШ №20, і щодня після уроків їжджу на тренування з плавання до 3-го затону Дніпра, і мене все влаштовує. Але тільки не маму. Як це так – донька в Києві, у спеціалізованій фіз.-мат. школі, а син-близнюк – у херсонській школі, відірваний від сестри, від освіти, без майбутнього.
Треба зазначити, що в сім'ї, через папину роботу та навчання старшого брата в кращому університеті країни, панував дух науки. Донька явно йшла слідами батька і старшого брата, а її брат-близнюк відірваний від мейнстріму занять сім'ї. І мама постійно "пилить" батька, вимагаючи зробити щось для відновлення рівноваги - возз'єднання брата і сестри.
Зрозуміло, в моєму викладі цієї історії багато чого – вигадка. Проте, батько таки подзвонив до Києва своєму знайомому заст. міністра освіти України. Він виклав суть справи: розумниця-донька навчається у фіз-мат. спец. школі-інтернаті при Київському університеті, а її непутящий брат-близнюк марнує життя у звичайній херсонській школі. І наступного дня папин знайомий заст. міністра повідомляє, що у фіз.-мат. школу при КДУ оголошено додатковий набір, вступний іспит через два дні, і Ваш син зареєстрований для іспиту як кандидат від міністерства освіти України.
У результаті, коли я прийшов з тренування близько 5 вечора, мені було оголошено, що завтра рано вранці ми їдемо до Києва (на нашому 403 москвичі червоного кольору), з 20-ю школою все домовлено, і я маю збирати речі в поїздку. Чи треба говорити, що кандидат від міністерства успішно склав іспити і був зарахований у 9А клас республіканської спеціалізованої школи-інтернату фізико-математичного профілю при Київському університеті?
Фізико-математичний інтернат. Краса математики і моє відкриття цієї краси
Отже, я вчуся у 9А класі республіканської фіз.-мат. школи-інтернату при університеті ім. Т. Г. Шевченка. Мій новий клас мені сподобався. Усі його учні з'їхалися з різних міст України. Специфіка інтернатського життя полягає в тому, що 24 години на добу ти перебуваєш у товаристві своїх однокласників. Знайомства та дружні стосунки зав'язуються дуже швидко. Серед однокласників практично немає конфліктів. Усе робимо разом. Разом вчимося, разом їмо одне і те саме, носимо однаковий одяг, спимо в спільній кімнаті на 10 осіб. (Називається палатою). Разом граємо у футбол, волейбол, та інші ігри. Разом відвідуємо сусідні яблучні сади та полуничні поля. Доводиться тікати від сторожів та собак. І жодних батьків. Так, є вихователі. Але це – їхня робота, а не батьківська турбота. Словом, піонерський табір тривалістю в навчальний рік.
Мені дуже пощастило: у класі вчиться моя рідна сестра. Дивно, але родинні почуття до Ліди явно пробудилися саме в інтернаті. Отже, звичайний клас у звичайному інтернаті. Але в поведінці багатьох моїх однокласників є одна особливість: щовечора, зазвичай після вечері, вони приходять до класу і протягом декількох годин розв'язують математичні задачі. Пізніше я зрозумів, що вони готуються до олімпіад. Я із задоволенням і вдячністю згадую моїх друзів-олімпіадників, приклад яких надихнув мене на заняття математикою. Це Толик Кочубинський, Льоня Пітебарг, Митя Фельдман, Борис Локшин, Борис Поліщук, Володя Кузенко, Юра Кабанов.
Розв'язання олімпіадних задач не передбачено навчальним планом, жодних уроків, і жодних, як це не дивно, вчителів. Ніхто нікого не змушує. Це – особиста справа кожного. З ким поведешся. І я попросив свого нового друга Бориса Локшина, одного з активних олімпіадників, ввести мене в курс справи і бути моїм провідником і наставником.
Боб почав із того, що запропонував мені розв'язати таку задачу:
Довести, що для будь-якого натурального числа n (n2 + n) ділиться на 2.
Я довго думав, як підступитися до цієї задачі, але так нічого й не придумав. Попросив у Бориса допомоги. Ось його пояснення:
Це дуже просто. n^2 + n = n(n+1), n і n+1 – два послідовних натуральних числа. Отже, одне з них – парне.
Простота розв'язання, і той факт, що я його не знайшов, мене вразили. Я зрозумів, що для розв'язання математичних задач треба навчитися думати.
Багато десятків років по тому, аналізуючи уроки математики в школі, я дійшов висновку, що програма шкільної математики і методика її викладання не потребує від учня вміння думати.
Це – серйозне звинувачення. Тому необхідне обґрунтування.
Приклад 1. Метод дискримінанта розв'язання квадратного рівняння (алгебра, 8 клас). Метод виведення формули коренів квадратного рівняння способом виділення повного квадрата докладно викладено в шкільному підручнику. Учні мають вивчити цей метод. Найкраще слово в слово. Або близько до тексту. Важливо не помилитися у формулах. Якщо відповіси так біля дошки – п'ятірка забезпечена. Думати не треба. Треба вивчити, тобто запам'ятати. Практична частина розділу – розв'язання великої кількості квадратних рівнянь. Натренуєшся – п'ятірка за домашню роботу забезпечена. Але, найважливіше в розв'язанні – не застосування формули, а подальше спрощення формули розв'язання. Однак, на це в підручнику не звертається уваги! Таким чином, алгоритм виділення повного квадрата в натуральному числі не наводиться і не вивчається.
Приклад 2. Теорема про суму внутрішніх кутів трикутника (геометрія, 8 клас). Теорема в шкільному підручнику представлена доведенням, що використовує додаткову побудову на кресленні. Доведення слід вивчити і відтворити біля дошки, включно з кресленням. Виконавши біля дошки ці дії, я заробив 5. На мій погляд, найцікавіший прийом – додаткова побудова. Але в шкільному підручнику на цей прийом увага не звертається. Отже, для отримання високих оцінок з математики в школі вміння думати не використовується. Я не звинувачую шкільні підручники з математики, вони орієнтовані на слабких учнів.
За прикладом моїх однокласників і під чуйним керівництвом Бориса Локшина, я приступив до тренувань з олімпіадних завдань. До кінця 9 класу я досяг, думаю, середнього рівня знань і вмінь моїх однокласників. Ба більше, я переконався в тому, що в мене є математичні здібності. Дивно, але усвідомлення цього прийшло практично миттєво, протягом декількох хвилин (Еврика!). Ось ця історія.
Для підготовки до олімпіад ми використовували деякі збірники задач. Ці збірники були в загальному користуванні, і, розв'язавши якусь задачу, ми відзначали її своїм знаком (пташка, плюс, тощо). В одному зі збірників було сформульовано дві задачі, відзначені зірочками як задачі підвищеної складності. Дивно, але ці задачі не були відзначені учнями взагалі. Це означало, що їх ніхто не зміг розв'язати.
Ось одна з них, складніша:
Дана шахівниця розміром 10x10. Чи можна її замостити фігурками такого вигляду? 
Розв'язуючи інші задачі, я час від часу звертав увагу і на цю задачу. І ось, одного разу, я розфарбував клітинки фігурки в чорний і білий кольори. І побачив, що існує два типи фігурок:
Розв'язання задачі знайшлося практично миттєво:
1. Усього фігурок має бути 100/4 = 25.
2. Чорних і білих клітинок на дошці порівну – по 50. Отже, фігурок різних типів має бути порівну. Але 25 на 2 не ділиться.
3. Відповідь: Не можна!.
Починаючи з цього моменту, я переконався у своїх математичних здібностях.
На завершення – дуже важливе спостереження: необхідна умова наявності математичних здібностей – відчуття краси математичних міркувань і математики взагалі!